Сущность имитационного моделирования

Как было сформулировано выше, под сложной системой понимают многоуровневую конструкцию из взаимодействующих между собой элементов, являющихся динамическими системами. Чтобы задать сложную систему, необходимо описать ее элементы, а также пред­ставить схему их сопряжения.

Функционирование элемента как динамической системы пред­ставляется последовательностью перемещений состояния (изобража­ющей точки) в пространстве состояний, перемежаемых случайными скачками состояния при выходе на границу или при поступлении вход­ных сигналов. Как известно, оно может быть задано пятью группами характеристик, представляющих собой соотношения для: 1) опреде­ления границы пространства состояний; 2) описания перемещений изображающей точки; 3) расчета распределения вероятностей скачка состояния при выходе на границу; 4) расчета распределения вероят­ностей скачка состояния при поступлении входного сигнала; 5) рас­чета координат выходного сигнала.

Выходные сигналы, выдаваемые одними элементами, поступая к другим элементам как входные сигналы, приводят к изменению поведения элементов. Получающееся при этом переплетение пере­мещений и случайных скачков состояний различных элементов мно­гоуровневой конструкции составляет процесс функционирования сложной системы во всем многообразии происходящих событий и явлений.

Несмотря на сложность процесса функционирования многоуров­невой системы и необозримость всевозможных сочетаний общесис­темных ситуаций, путь для количественного и качественного матема­тического исследования систем не является полностью закрытым. Правда, если в рамках традиционного подхода иметь в виду уравне­ния для достаточно богатого набора общесистемных характеристик (функционалов), описывающих свойства изучаемого объекта, то при сколько-нибудь сложной модели мы неизбежно столкнемся с трудно­стями в составлении и решении уравнений. Основным препятствием здесь оказывается сложность непосредственной формализации и ма­тематического описания общесистемных ситуаций на базе умозри­тельного анализа взаимозависимости составляющих их событий и яв­лений, тем более что не всегда для этой цели имеются подходящие математические средства.

Однако возможен другой путь, не требующий составления урав­нений относительно характеристик системы и не возлагающий на человека непосильного бремени разложения сложного процесса фун­кционирования системы в целом в последовательность простых явле­ний и событий, доступных непосредственному математическому опи­санию. Умозрительный анализ остается инструментом, помогающим формализовать процессы функционирования лишь элементов систе­мы как объектов, заведомо более простых, а также средством описа­ния схем сопряжения элементов в сложных системах. Конструирова­ние же общесистемных ситуаций как взаимно обусловленных сочетаний перемещений и скачков состояний элементов многоуровневой слож­ной системы возлагается на ЭВМ.

Если заданы начальные состояния в момент /ц всех элементов, то в соответствии с алгоритмами, построенными на базе соотноше­ний, входящих в упомянутые выше пять групп характеристик, мож­но вычислить координаты состояний элементов для t > tQ. В самом деле, решая совместно уравнения движения изображающей точки и уравнения границы пространства состояний, можно определить мо­мент Ґ выхода на границу и координаты состояния г* в этот момент. Как известно, в момент t* элементы системы выдают выходные сиг­налы. Сформировав координаты выходных сигналов и определив «ад­рес» передачи сигналов по схеме сопряжения, их подают на входы элементов-адресатов уже как входные сигналы. Исходя из t* и z* или / и z, где / — момент поступления входного сигнала, a z — состоя­ние в этот момент, вычисляются распределения вероятностей для случайных скачков состояния. Новые состояния, в которые перехо­дит система после скачка, определяются по жребию в соответствии с этими распределениями вероятностей. Другими словами, векторы состояния после скачка формируются с использованием случайных величин, распределения которых зависят от состояний системы пе­ред скачком и поступающих входных сигналов.

Из приведенного описания следуют две особенности рассматри­ваемого способа моделирования сложных объектов.

Во-первых, имеет место определенное сходство процесса, вос­производимого ЭВМ, и реального процесса функционирования мо­делируемой системы. Это сходство возникает за счет идентичности строения возможных сочетаний перемещений и скачков состояния. Конструируя общесистемные ситуации, ЭВМ как бы имитирует яв­ления и события моделируемого процесса. Отсюда происходит на­звание имитационное моделирование.

Во-вторых, процесс имитации включает огромное число опера­ций, связанных с формированием, преобразованием и использова­нием реализации случайных событий, случайных величин и случай­ных процессов, обеспечивающих случайные скачки состояний. Поэтому траектории движения сложной системы в пространстве со­стояний, получаемые путем имитации, являются случайными функ­циями времени.

Случайный характер также носят любые результаты моделирова­ния, если они получены при воспроизведении на ЭВМ единствен­ной реализации моделируемого процесса. Такие результаты не могут объективно характеризовать исследуемый процесс — они отражают лишь случайные сочетания действующих факторов, складывающихся в процессе моделирования. Искомые величины при исследовании сложных систем методом имитационного моделирования обычно оп­ределяют как средние значения по данным некоторого числа реализа­ций процесса. Совокупность реализации выступает в роли «статисти­ческого материала» при машинном эксперименте, а оценка параметров исследуемой системы по результатам моделирования — в роли обра­ботки экспериментальных данных. Поэтому рассматриваемый метод иногда называют методом статистического моделирования. Впрочем, последний термин постепенно исчезает из обихода.

Исходным материалом для построения любых случайных объектов в ЭВМ служат так называемые случайные числа, вырабатываемые спе­циальной программой — датчиком случайных чисел. Случайные числа можно рассматривать как возможные значения х,, случайной величи­ны £ , приближенно подчиняющейся равномерному закону распреде­ления в интервале (0, 1). Способы конструирования из случайных чисел различных более сложных случайных объектов в настоящее время дос­таточно развиты и носят название преобразования случайных чисел.

Пусть требуется реализовать случайное событие А, наступающее с вероятностью р. Определим А как событие, состоящее в том, что выбранное значение xi случайной величины 2; удовлетворяет нера­венству Xj < р. Легко видеть, что вероятность

P(A) = dx = p

о

Для моделирования испытаний этого вида выберем случайное число xt и сравним его с р. Если *, </?, то исходом испытаний считается событие А; в противном случае, когда х, > р, исходом испытания считается событие А, вероятность которого 1 — р.

s

Если задано распределение вероятностей P[9P29 -,Ps £/>,- = 1 и

/=1

случайное число х,- удовлетворяет неравенству 1т_ < х/ < 1т, где

г

lr = I, то исходом испытания считается событие, имеющее

/=1

вероятность рт.

Если требуется получить возможные значения у,- случайной вели­чины Л, имеющей функцию плотности /(у), исходя из случайных чисел Xj с равномерным распределением в интервале (0, 1), то нуж­но решить относительно у,- уравнение

2 2 х-то л’ї

Пользуясь аналогичными приемами, можно сформировать так называемые марковские процессы, характеризующие функционирова­ние вероятностных автоматов, систем массового обслуживания и т. д. В частности, чтобы получить реализацию случайного потока одно­родных событий, достаточно сформировать ряд моментов tj поступ­ления заявок:

‘1=$Ъ

h = +^2>

где j — возможные значения случайных величин с заданным совме­стным законом распределения. С использованием этих алгоритмов были решены актуальные практические задачи, связанные с иссле­дованием широкого класса сложных систем. Метод имитационного моделирования становится мощнейшим инструментом системотехни­ки, системного анализа и исследования операций.

До недавнего времени основные ограничения на сложность реа­лизуемых моделей определялись характеристиками используемых ЭВМ. Современные ЭВМ, обладающие мультипрограммным режи­мом работы, независимой передачей информации между различны­ми видами памяти и другими особенностями организации вычисли­тельного процесса, в принципе позволяют реализовать модели весьма большой сложности. Вместе с тем по мере увеличения сложности моделируемых объектов значительно возрастает трудоемкость постро­ения моделей (формального описания элементов системы и взаимо­действия между ними, программирования моделирующих алгорит­мов и др.) и их использования для решения практических задач (ввода данных о системе в ЭВМ, обработки и анализа результатов модели­рования и Т. Д.).

Созданные к настоящему времени большие имитационные моде­ли потребовали для построения моделирующего алгоритма, програм­мирования и отладки многих месяцев (а иногда и лет) работы много­профильных коллективов высококвалифицированных специалистов. Это обстоятельство уменьшает оперативность использования резуль­татов имитационного моделирования. При изменениях, вносимых в модель в процессе исследования, требовалась обычно весьма громоз­дкая работа по перепрограммированию зацачи. Опыт моделирова­ния, а также отдельные фрагменты имитационных алгоритмов слабо использовались при построении новых моделей. Рост трудоемкости заметно снижает оперативность и рентабельность моделирования и, таким образом, сужает реальную сферу практического применения имитационных моделей сложных систем. Поэтому построение моде­лей на базе традиционных методов уже не удовлетворяет изменив­шимся требованиям практики. Со всем этим можно еще было в ка­кой-то степени мириться, пока возможности ЭВМ не позволяли строить имитационные модели для действительно сложных реальных объектов.

С внедрением в практику современных ЭВМ, допускающих муль­типрограммную организацию вычислительного процесса и имеющих внешнюю память большого объема с быстрым считыванием, появи­лась принципиальная возможность разместить в памяти и реализовать на ЭВМ модели для систем, представляющих собой многоуровневые иерархические структуры (задаваемые сложными схемами сопряже­ния) из сотен или тысяч элементов, описываемых динамическими системами в широком смысле слова (обыкновенными дифференци­альными уравнениями, конечными и вероятностными автоматами, системами массового обслуживания и т. д.). В свете этого проблема сокращения сроков построения моделей и уменьшения трудоемкости ручных работ становится исключительно актуальной.